Un secteur circulaire est la région balayée par deux rayons et l’arc qui les relie. Dès que le rayon et l’angle au centre sont connus, on peut calculer son aire, son bord courbe et le périmètre d’un secteur ordinaire à partir du même angle — à condition de traiter correctement les degrés et les radians. Ce guide établit les deux séries de formules, développe un exemple complet et présente les contrôles de contour qui évitent de confondre longueur d’arc, périmètre de secteur et géométrie du segment circulaire.
Réponse rapide : aire, longueur d’arc et périmètre d’un secteur
Soit r le rayon du cercle, θ l’angle au centre en radians, α le même angle en degrés, A l’aire du secteur et s la longueur de l’arc courbe. Lorsque l’angle est en radians, les deux relations fondamentales sont :
Aire du secteur en radians
A = ½r²θÉlevez le rayon au carré, multipliez par l’angle en radians, puis divisez par deux. Le résultat s’exprime dans l’unité de longueur au carré.Longueur d’arc en radians
s = rθMultipliez le rayon par l’angle au centre exprimé en radians. Le résultat utilise la même unité de longueur que le rayon.Pour un secteur ordinaire dont les deux côtés radiaux sont distincts — donc avec un angle strictement supérieur à 0° et inférieur à 360° — ajoutez les deux rayons à l’arc pour obtenir toute la longueur de son contour :
Périmètre d’un secteur ordinaire
P = 2r + sLe contour comprend l’arc courbe et deux segments droits de longueur égale au rayon.Ce que représente un secteur circulaire
Un secteur est une portion de disque. Ses deux bords droits sont des rayons qui se rejoignent au centre du cercle, et son bord courbe est un arc de la circonférence. L’angle au centre mesure la rotation d’un rayon à l’autre. Un angle plus grand sélectionne une plus grande fraction du même cercle ; un rayon plus grand augmente à la fois la longueur courbe et l’aire.
- Le rayon r est la distance entre le centre et le bord du cercle.
- L’angle au centre θ ou α se mesure au centre du cercle, et non sur la circonférence.
- La longueur d’arc s suit le bord courbe et constitue une mesure linéaire.
- L’aire du secteur A couvre la portion bidimensionnelle et s’exprime dans une unité au carré.
- Le périmètre du secteur P suit tout le contour : l’arc et les deux côtés radiaux.
Un secteur circulaire n’est pas un segment circulaire. Un segment est délimité par une corde et un arc, sans rayon sur son contour. Si votre schéma présente une corde droite entre les extrémités de l’arc, utilisez le Calculateur de corde et de segment circulaire plutôt que de considérer cette région comme un secteur.
Identifiez les données et les unités avant de calculer
Le calcul direct d’un secteur nécessite un rayon positif et un angle au centre positif. Dans le cas courant d’un seul tour, l’angle ne dépasse pas 360° ou 2π radians. Le calculateur du navigateur permet de choisir explicitement les degrés ou les radians et conserve le libellé de longueur sélectionné pour ses résultats linéaires et au carré ; il ne convertit pas numériquement une mesure d’une unité de longueur vers une autre.
| Grandeur | Dimension | Exemple d’unité |
|---|---|---|
| Rayon r | Longueur | cm |
| Longueur d’arc s | Longueur | cm |
| Périmètre ordinaire P | Longueur | cm |
| Aire du secteur A | Aire | cm² |
| Angle au centre | Angle | degrés ou radians |
Calculer un secteur lorsque l’angle est en degrés
Un angle α exprimé en degrés représente la fraction α/360 d’une rotation complète. Appliquez cette même fraction à l’aire du cercle entier πr² et à sa circonférence 2πr pour obtenir les formules du secteur.
Aire du secteur en degrés
A = (α ÷ 360)πr²Prenez la fraction α/360 de l’aire du disque complet. La réponse s’exprime dans l’unité au carré correspondant à r.Longueur d’arc en degrés
s = (α ÷ 360)2πr = πrα ÷ 180Prenez la fraction α/360 de la circonférence complète, puis simplifiez si cela facilite le calcul.Après avoir trouvé s, utilisez P = 2r + s pour un secteur dont les deux côtés radiaux sont distincts. Conserver l’arc sous la forme d’un multiple exact de π jusqu’à la dernière étape d’affichage facilite la vérification du périmètre et limite les erreurs d’arrondi prématurées.
Calculer le même secteur en radians
Les radians expriment directement le rapport entre l’arc et le rayon. Une rotation complète vaut 2π radians ; un secteur d’angle θ occupe donc la fraction θ/(2π) du disque entier. L’application de cette fraction à πr² se simplifie en la moitié du carré du rayon multipliée par θ.
Dérivation de l’aire en radians
A = (θ ÷ 2π)πr² = ½r²θLes termes π s’annulent, ce qui donne la forme compacte en radians.Relation de longueur d’arc en radians
s = rθCette relation découle de la définition du radian θ = s/r.Aire à partir du rayon et de l’arc
A = ½rsRemplacez rθ par s dans A = ½r²θ. Cette relation fournit un contrôle indépendant utile lorsque l’arc est déjà connu.Si l’angle fourni est en degrés, commencez par le convertir avec θ = απ/180. Le résultat de cette conversion est une valeur en radians ; ce n’est qu’ensuite qu’il faut l’introduire dans les formules compactes.
Exemple détaillé : rayon de 9 cm et angle au centre de 80°
Supposons qu’un secteur ait un rayon de 9 cm et un angle au centre de 80°. Comme 80/360 se simplifie en 2/9, le secteur représente deux neuvièmes du disque complet. La même géométrie peut être calculée en degrés ou après conversion de l’angle en radians.
Convertir l’angle au centre
θ = 80π ÷ 180 = 4π ÷ 9 radiansDivisez le numérateur et le dénominateur par 20 pour simplifier 80π/180 en 4π/9.Calculer l’aire du secteur
A = ½ × 9² × (4π ÷ 9) = 18π cm² ≈ 56.5487 cm²L’aire exacte est 18π centimètres carrés ; la valeur décimale est arrondie à quatre décimales.Calculer la longueur d’arc
s = 9 × (4π ÷ 9) = 4π cm ≈ 12.5664 cmLe facteur neuf s’annule, ce qui laisse une longueur courbe exacte de 4π cm.Calculer le périmètre ordinaire du secteur
P = 2 × 9 + 4π = 18 + 4π cm ≈ 30.5664 cmAjoutez les deux côtés radiaux de 9 cm à l’arc courbe.| Résultat | Forme exacte | Forme décimale |
|---|---|---|
| Aire du secteur | 18π cm² | 56.5487 cm² |
| Longueur d’arc | 4π cm | 12.5664 cm |
| Périmètre | 18 + 4π cm | 30.5664 cm |
Pourquoi la longueur d’arc seule n’est pas le périmètre du secteur
La longueur d’arc mesure uniquement le bord courbe. Pour un secteur ordinaire compris entre 0° et 360°, parcourir tout le contour impose aussi de suivre un rayon jusqu’au centre, puis l’autre rayon vers l’extérieur. C’est pourquoi les deux longueurs droites ajoutent 2r.
Le cas limite de 360° demande une interprétation géométrique distincte. Après un tour complet, les deux côtés radiaux se confondent à l’intérieur du disque au lieu de former deux bords extérieurs distincts. La région est alors un disque complet, dont le contour est la circonférence 2πr — et non 2r + 2πr. Utilisez le Calculateur de cercle pour les questions portant sur l’aire et la circonférence d’un disque complet.
Quatre contrôles indépendants pour vérifier le résultat d’un secteur
- Contrôle par fraction d’aire : comparez α/360 avec la même fraction de πr².
- Contrôle par fraction de circonférence : comparez α/360 avec la même fraction de 2πr.
- Contrôle rayon–arc : vérifiez A = ½rs après avoir calculé l’arc indépendamment.
- Contrôle dimensionnel : l’aire doit employer une unité au carré, tandis que l’arc et le périmètre restent dans des unités linéaires.
Dans l’exemple avec 9 cm et 80°, la fraction angulaire vaut 2/9. Deux neuvièmes de l’aire totale 81π cm² donnent 18π cm², et deux neuvièmes de la circonférence totale 18π cm donnent 4π cm. L’autre relation d’aire donne ½ × 9 × 4π = 18π cm². Les trois méthodes concordent sans répéter la même suite de calculs.
Les angles particuliers offrent des contrôles rapides de vraisemblance. Un secteur de 90° représente un quart du disque, un secteur de 180° une moitié et un secteur de 270° trois quarts. Si ces cas ne produisent pas les fractions correspondantes, vérifiez l’unité de l’angle et assurez-vous qu’un diamètre n’a pas été saisi comme rayon.
Erreurs fréquentes dans le calcul d’un secteur
- Introduire directement une valeur en degrés dans une formule prévue pour les radians.
- Utiliser le diamètre comme r au lieu de le diviser par deux.
- Présenter le seul arc courbe comme le périmètre complet du secteur.
- Ajouter une corde à l’arc et appeler la région un secteur plutôt qu’un segment circulaire.
- Exprimer l’aire du secteur dans une unité linéaire plutôt que dans une unité au carré.
- Mélanger les unités de longueur entre le rayon et une autre mesure connue.
- Arrondir l’angle converti en radians avant de calculer l’aire et la longueur d’arc.
- Considérer qu’un plus grand nombre de décimales affichées améliore la précision de la mesure.
- Appliquer la convention de contour ordinaire 2r + s à un disque complet de 360°.
Les formules décrivent la géométrie idéale d’un cercle. Elles ne tiennent pas compte de l’épaisseur du matériau, de la largeur de coupe, des tolérances de fabrication, des déformations ni des coefficients de sécurité. Conservez la précision des mesures d’origine et évaluez séparément ces contraintes réelles.
Calculer le secteur dans une procédure transparente
Utilisez le calculateur gratuit Calculateur de secteur dans le navigateur lorsque le rayon et l’angle au centre sont connus. Saisissez un rayon positif, choisissez les degrés ou les radians, indiquez un angle allant jusqu’à un tour complet, sélectionnez le libellé d’unité et la précision affichée, puis comparez ensemble l’aire du secteur, la longueur d’arc et le périmètre affiché par le calculateur.
Si la longueur d’arc est la valeur manquante — ou s’il faut retrouver le rayon ou l’angle — utilisez le Calculateur de longueur d’arc. Il accepte deux valeurs parmi le rayon, l’angle au centre et la longueur d’arc, tout en distinguant clairement les degrés des radians. Le guide détaillé sur la longueur d’arc présente cette relation à trois grandeurs étape par étape.
Sur iPhone ou Android, Circle Calculator propose un parcours consacré aux secteurs pour le rayon, l’angle, l’aire et le périmètre, avec choix entre degrés et radians. Les boutons de boutique ci-dessous enregistrent uniquement une visite sortante. Une visite sortante n’est pas comptée comme une installation, un abonnement ou un achat ; les disponibilités et conditions d’achat actuelles restent indiquées dans la boutique de votre appareil.
Gardez le calcul du secteur sous la main
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Sur iPhone ou Android, saisissez un rayon et un angle au centre, passez des degrés aux radians et calculez l’aire et le périmètre du secteur dans un parcours mobile clair. Les disponibilités et conditions d’achat actuelles sont affichées dans la boutique de votre appareil.