Kreissektor berechnen: Fläche, Bogenlänge und Umfang aus Radius und Winkel

Kurzantwort: Fläche, Bogenlänge und Umfang eines Kreissektors

Es sei r der Kreisradius, θ der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß, α derselbe Winkel im Gradmaß, A die Sektorfläche und s die gebogene Bogenlänge. Für einen Winkel im Bogenmaß gelten die beiden grundlegenden Beziehungen:

Bei einem Kreissektor mit zwei getrennten radialen Randseiten – der Winkel ist also größer als 0° und kleiner als 360° – werden die beiden Radien zur Bogenlänge addiert, um die gesamte Randlänge zu erhalten:

Was ein Kreissektor darstellt

Ein Kreissektor ist ein Ausschnitt einer Kreisfläche. Seine beiden geraden Kanten sind Radien, die sich im Kreismittelpunkt treffen; die gebogene Kante ist ein Teil des Kreisumfangs. Der Mittelpunktswinkel misst die Drehung von einem Radius zum anderen. Ein größerer Winkel wählt einen größeren Anteil desselben Kreises aus; ein größerer Radius vergrößert sowohl die gebogene Länge als auch die Fläche.

• Der Radius r ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Kreisrand.
• Der Mittelpunktswinkel θ beziehungsweise α wird im Kreismittelpunkt und nicht am Kreisumfang gemessen.
• Die Bogenlänge s folgt dem gebogenen Rand und ist eine lineare Größe.
• Die Sektorfläche A umfasst den zweidimensionalen Ausschnitt und wird in einer quadratischen Einheit angegeben.
• Der Sektorumfang P folgt dem gesamten Rand: dem Kreisbogen und beiden radialen Seiten.

Ein Kreissektor ist kein Kreissegment. Ein Kreissegment wird von einer Sehne und einem Kreisbogen begrenzt; ein Radius gehört nicht zu seinem Rand. Zeigt Ihre Zeichnung eine gerade Sehne zwischen den Endpunkten des Kreisbogens, verwenden Sie stattdessen den Sehnen- & Kreissegment-Rechner und behandeln Sie die Fläche nicht als Kreissektor.

Eingaben und Einheiten vor der Berechnung bestimmen

Für die direkte Berechnung eines Kreissektors werden ein positiver Radius und ein positiver Mittelpunktswinkel benötigt. Im üblichen Fall einer einzelnen Umdrehung beträgt der Winkel höchstens 360° beziehungsweise 2π Radiant. Im Browser-Rechner wählen Sie ausdrücklich zwischen Grad- und Bogenmaß. Die gewählte Längeneinheit wird als Bezeichnung für lineare und quadratische Ergebnisse übernommen; der Rechner wandelt den Zahlenwert jedoch nicht von einer Längeneinheit in eine andere um.

Kreissektor mit einem Winkel im Gradmaß berechnen

Ein Winkel α im Gradmaß entspricht dem Anteil α/360 einer vollständigen Umdrehung. Wenden Sie denselben Anteil auf die vollständige Kreisfläche πr² und den Kreisumfang 2πr an, um die Formeln für den Kreissektor zu erhalten.

Nachdem s berechnet wurde, gilt P = 2r + s für einen Kreissektor mit zwei getrennten radialen Randseiten. Wird der Kreisbogen bis zum letzten Anzeigeschritt als exaktes Vielfaches von π beibehalten, lässt sich der Umfang leichter prüfen und ein vorzeitiger Rundungsfehler wird vermieden.

Denselben Kreissektor im Bogenmaß berechnen

Das Bogenmaß beschreibt das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius unmittelbar. Eine vollständige Umdrehung entspricht 2π Radiant; ein Kreissektor mit dem Winkel θ nimmt daher den Anteil θ/(2π) der vollständigen Kreisfläche ein. Wird dieser Anteil auf πr² angewendet, vereinfacht sich der Ausdruck zu einem Halb mal Radiusquadrat mal θ.

Liegt der Ausgangswinkel im Gradmaß vor, rechnen Sie ihn zuerst mit θ = απ/180 um. Das Ergebnis dieser Umrechnung ist ein Wert im Bogenmaß; erst dann darf es in die kompakten Formeln eingesetzt werden.

Rechenbeispiel: Radius 9 cm und Mittelpunktswinkel 80°

Angenommen, ein Kreissektor hat einen Radius von 9 cm und einen Mittelpunktswinkel von 80°. Da sich 80/360 zu 2/9 kürzen lässt, entspricht der Kreissektor zwei Neunteln der vollständigen Kreisfläche. Dieselbe Geometrie kann entweder im Gradmaß oder nach der Umrechnung des Winkels in das Bogenmaß berechnet werden.

Warum die Bogenlänge allein nicht der Sektorumfang ist

Die Bogenlänge misst nur die gebogene Kante. Bei einem Kreissektor zwischen 0° und 360° führt der vollständige Rand zusätzlich entlang eines Radius zum Mittelpunkt und entlang des anderen Radius wieder nach außen. Deshalb kommen die beiden geraden Strecken mit insgesamt 2r hinzu.

Der Endpunkt bei 360° muss geometrisch gesondert betrachtet werden. Nach einer vollständigen Umdrehung fallen die beiden radialen Seiten im Inneren der Kreisfläche zusammen, statt zwei getrennte äußere Randkanten zu bilden. Die Fläche ist dann eine vollständige Kreisfläche, deren Rand der Kreisumfang 2πr ist – nicht 2r + 2πr. Verwenden Sie den Kreisrechner für Fragen zur Fläche und zum Umfang eines vollständigen Kreises.

Vier unabhängige Prüfungen für ein Sektorergebnis

1. Flächenanteil prüfen: Vergleichen Sie α/360 mit demselben Anteil von πr².
2. Umfangsanteil prüfen: Vergleichen Sie α/360 mit demselben Anteil von 2πr.
3. Radius-und-Bogen-Prüfung: Kontrollieren Sie A = ½rs, nachdem Sie die Bogenlänge unabhängig berechnet haben.
4. Dimensionen prüfen: Die Fläche muss eine quadratische Einheit verwenden, während Bogenlänge und Umfang lineare Einheiten bleiben.

Im Beispiel mit 9 cm und 80° beträgt der Winkelanteil 2/9. Zwei Neuntel der vollständigen Fläche 81π cm² ergeben 18π cm²; zwei Neuntel des vollständigen Umfangs 18π cm ergeben 4π cm. Die alternative Flächenbeziehung liefert ½ × 9 × 4π = 18π cm². Alle drei Wege stimmen überein, ohne dieselbe Rechenfolge erneut zu verwenden.

Besondere Winkel ermöglichen schnelle Plausibilitätsprüfungen. Ein 90°-Sektor entspricht einem Viertel der Kreisfläche, ein 180°-Sektor der Hälfte und ein 270°-Sektor drei Vierteln. Ergeben diese Fälle nicht die entsprechenden Anteile, prüfen Sie die Winkeleinheit und ob möglicherweise ein Durchmesser als Radius eingegeben wurde.

Häufige Fehler bei der Berechnung von Kreissektoren

1. Einen Gradwert direkt in eine Formel für das Bogenmaß einsetzen.
2. Den Durchmesser als r verwenden, statt ihn durch zwei zu teilen.
3. Nur den gebogenen Kreisbogen als vollständigen Sektorumfang bezeichnen.
4. Eine Sehne zum Kreisbogen addieren und die Fläche als Sektor statt als Segment bezeichnen.
5. Die Sektorfläche in einer linearen statt in einer quadratischen Einheit angeben.
6. Für den Radius und eine weitere bekannte Länge unterschiedliche Längeneinheiten verwenden.
7. Den umgerechneten Winkel im Bogenmaß runden, bevor Fläche und Bogenlänge berechnet werden.
8. Zusätzliche angezeigte Dezimalstellen mit höherer Messgenauigkeit gleichsetzen.
9. Die Umfangskonvention 2r + s auf eine vollständige Kreisfläche mit 360° anwenden.

Die Formeln beschreiben eine ideale Kreisgeometrie. Materialstärke, Schnittfugenbreite, Fertigungstoleranzen, Verformung und Sicherheitsfaktoren sind darin nicht enthalten. Bewahren Sie die Genauigkeit der Ausgangsmessung und beurteilen Sie diese praktischen Randbedingungen gesondert.

Kreissektor in einem transparenten Ablauf berechnen

Verwenden Sie den kostenlosen browserbasierten Kreissektor-Rechner, wenn Radius und Mittelpunktswinkel bekannt sind. Geben Sie einen positiven Radius ein, wählen Sie Grad- oder Bogenmaß, tragen Sie einen Winkel bis zu einer vollständigen Umdrehung ein und legen Sie Einheitenbezeichnung sowie angezeigte Genauigkeit fest. Vergleichen Sie anschließend Sektorfläche, Bogenlänge und die Umfangsausgabe des Rechners miteinander.

Ist die Bogenlänge unbekannt – oder sollen Radius beziehungsweise Winkel rückwärts bestimmt werden –, verwenden Sie den Bogenlängen-Rechner. Er berechnet aus jeweils zwei der Größen Radius, Mittelpunktswinkel und Bogenlänge die dritte und behandelt Grad- und Bogenmaß ausdrücklich getrennt. Die ausführliche Anleitung zur Bogenlänge erklärt diese Beziehung zwischen drei Größen Schritt für Schritt.

Auf dem iPhone oder unter Android bietet Circle Calculator einen übersichtlichen Sektorablauf für Radius, Winkel, Fläche und Umfang mit Auswahl zwischen Grad- und Bogenmaß. Die Store-Schaltflächen unten erfassen ausschließlich den ausgehenden Besuch. Ein ausgehender Besuch wird weder als Installation noch als Abonnement oder Kauf gezählt; aktuelle Verfügbarkeit und Kaufbedingungen finden Sie weiterhin im Store Ihres Geräts.